白茶不雨的博客

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数据表示方式

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数字系统

二进制

早期的计算机使用 真空管 来表示数据：通电表示1，断电表示0。这种方式形成了 二进制 系统，英文称为 binary。二进制与十进制的区别在于进位规则：十进制是逢十进一，而二进制是逢二进一。

在十进制中，数字 3456 的含义如下：

3456 = 3 × 10^3 + 4 × 10^2 + 5 × 10^1 + 6 × 10^0

二进制转十进制

将二进制数 11011.101 转换为十进制的步骤如下：

整数部分：11011

从右往左，将每一位上的数字与其在二进制数中的权重相乘，并求和

1 × 2^4 = 16
1 × 2^3 = 8
0 × 2^2 = 0
1 × 2^1 = 2
1 × 2^0 = 1
总和 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27

小数部分：.101

从左往右，将每一位上的数字与其在二进制数中的权重相乘，并求和

1 × 2^(-1) = 0.5
0 × 2^(-2) = 0
1 × 2^(-3) = 0.125
总和 = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625

整数部分 + 小数部分 = 27 + 0.625 = 27.625，二进制数 11011.101 转换为十进制数为 27.625

十进制转换为二进制

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

十进制小数转换成二进制小数采用"**乘2取整，顺序排列"**法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。

然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

二进制、八进制、十六进制等都基于类似的进位规则进行转换。二进制的运算还涉及到 补码 运算（1的补码和2的补码），这对于计算机的加减乘除运算尤为重要。对于有兴趣的朋友，可以进一步查阅相关的计算机基础书籍。

文字编码系统

计算机只能处理二进制数据（0和1），但通过编码系统，计算机可以记录和处理文字文件。编码系统就像一个“字码对照表”，负责将文字转为数字存储在计算机中，并在需要时将数字转换回文字显示。

编码系统的工作原理

  1. 写入文件：文字数据通过编码对照表转换为相应的数字，存入文件中。

  2. 读取文件：文件中的数字通过编码对照表转换为对应的文字，显示在屏幕上。

常用的编码系统

  • ASCII编码：常用的英文编码系统，每个符号占用1字节（Byte），共计256种字符。

  • Big5编码：常用于中文，每个中文字占用2字节。理论上可表示65536个字符，但实际只定义了一万三千多个中文字。

编码问题

  • 乱码现象：如果使用错误的编码对照表，字符会显示为乱码。这是因为不同编码系统对字符的映射不同。

  • Big5码的问题：由于某些字的编码可能与符号冲突，可能在读取时出现乱码，尤其是在数据库中。

Unicode与UTF-8

为解决不同编码系统间的冲突，国际组织ISO/IEC制定了Unicode编码系统，其广泛使用的编码形式是UTF-8。Unicode统一了所有语言的编码，使得不同语言的文字可以兼容地显示在同一系统中。

目前，互联网等领域普遍采用UTF-8编码，因此在设置编码系统时，建议优先选择Unicode或UTF-8。

浮点数

定点数表示小数时，会将小数点的位置固定不变，整数部分和小数部分分别转换为二进制表示。然而，定点数的数值范围和精度有限。因此，计算机中通常使用浮点数来表示小数。

浮点数的表示形式

浮点数使用科学计数法表示数字，其中小数点的位置可以“漂浮”。其通用形式为：

V = (-1)^S * M * R^E

  • S：符号位，0 表示正，1 表示负。

  • M：尾数，用小数表示，如 8.345。

  • R：基数，表示进制，二进制中 R = 2，十进制中 R = 10。

  • E：指数，表示小数点后的位移。

IEEE 754 浮点数标准

IEEE 754 标准规定了浮点数的表示形式，并定义了两种常见浮点数格式：

  • 单精度浮点数（float）：32 位，其中符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit。

  • 双精度浮点数（double）：64 位，其中符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit。

规定：

  1. 隐藏位：尾数 M 的第一位总是 1，可省略不写。单精度可表示 24 位有效数字，双精度可表示 53 位有效数字。

  2. 指数偏移：存储指数 E 时需加上偏移量（单精度为 127，双精度为 1023），确保指数可表示正负数。

  3. 特殊值：

    • 指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按常规计算。
    • 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，表示 0 或非常小的数。
    • 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大或负无穷大。
    • 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN（Not a Number）。

浮点数表示示例

将十进制数 25.125 转换为单精度浮点数：

  1. 整数部分：25 = 11001 (二进制)。

  2. 小数部分：0.125 = 0.001 (二进制)。

  3. 科学计数法：25.125 = 11001.001 = 1.1001001 × 2^4。

结果为 S = 0，尾数 M = 1.1001001（省略首位1），指数 E = 4 + 127 = 135。最后，将这些值填充至 32 位浮点数格式中。

浮点数的精度损失

以 0.2 为例，其二进制表示为 0.001100110011…，由于 0.2 的二进制表示为无限循环小数，而计算机的存储空间有限，因此只能截断表示，导致精度损失。

0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0（发生循环）
...

浮点数的范围与精度

以单精度浮点数 float 为例，它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（小数点后23个1），而二进制 1.11111…1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。

float 能表示的最小二进制数为 0.0000….1（小数点后22个0，1个1），用十进制数表示就是 1/2^23。

用同样的方法可以算出，double 能表示的最大二进制数为 +1.111…111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。

double 的最小精度为：0.0000…1(51个0，1个1)，用十进制表示就是 1/2^52。

Reference

[1] 计算机系统基础（四）浮点数:http://kaito-kidd.com/2018/08/08/computer-system-float-point/

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